Общие положения

Стр. 1 2 3 4... далее

Обобщенный закон Ома. Уравнения ветвей

Кроме уравнений узлов, контуров и уравнений элементов в расчетах используют также уравнения ветвей цепи (обобщенный закон Ома).

На основании второго закона Кирхгофа уравнения ветви с активными и пассивными элементами

 ,

где Uab=Uv - напряжение ветви, согласованное с направлением тока,

При заданном напряжении на зажимах обобщенной ветви, эдс и сопротивлении

Если вместо напряжения ветви известен ток, то напряжение ветви определяется как

Uv = I*ΣR - ΣE

ΣR - сумма сопротивлений ветви.

ΣE - алгебраическая сумма эдс ветви, со знаком «+» берутся эдс, направление действия которых совпадает с направлением тока.

Иногда используется также напряжение U_v ветви, направленное против направления тока

Uba=U_v          или                U_v = - Uv

Тогда при принятых направлениях токов и эдс

U_v = ΣE - I*ΣR

Законы Кирхгофа совместно с уравнениями ветвей, составляемых по  обобщенному закону Ома, являются основанием для формирования полной и частичных моделей линейных цепей.

Модель цепи связывает в единой системе уравнений координаты состояния цепи (токи и напряжения ветвей) и параметры цепи (эдс и сопротивления),

Линейная независимость уравнений узлов и контуров

Основанием для расчета любой электрической цепи является формулировка задачи с заданием конфигурации цепи и определенного количества известных и неизвестных величин и определением конечных целей.

Затем создается математическая модель. Состояние цепи в любой момент времени определяется значением токов в ветвях и / или напряжением между узлами цепи. Из математики известно, что количество неизвестных в расчете определяется размерностью системы уравнений [9] .

Математическая модель будет правильно сформирована, если полученная при этом система уравнений линейно независима [10] . Для обеспечения линейной независимости системы используют два определенных правила.

1. Число линейно независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа всегда на единицу меньше количества узлов схемы

К1=У-1

2. Число независимых контуров таково, чтобы общее количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа было равно В, то есть

К2=В-(У-1)

Для того, чтобы контуры были независимы, их следует выбирать так, чтобы в каждый новый контур входила одна новая ветвь [11] .

Методы расчета электрических цепей.

Эквивалентные преобразования и прямые методы

Методы расчета электрических цепей можно разделить на два основных направления:

методы эквивалентных преобразований,

прямые методы.

Методы эквивалентных преобразований (МЭП) позволяют выполнить полный или частичный расчет цепи путем последовательного упрощения схемы заменой определенных участков цепи более простыми.

С помощью прямых методов обычно выполняется полный расчет схемы путем формирования ее математической модели и решения полученной при этом системы уравнений без предварительного упрощения схемы [12] .

Методы эквивалентных преобразований (МЭП). Общая характеристика.

К эквивалентным преобразованиям (методам трансфигурации цепей [13] ) относят большую группу преобразований активных или пассивных участков электрических цепей. Эквивалентные преобразования выполняются таким образом, что координаты (токи и напряжения) в не преобразованной части схемы не изменятся [14] .

Целесообразное преобразование электрической цепи сопровождается упрощением конфигурации цепи. Упрощение проявляется в уменьшении количества ветвей и узлов схемы. Это дает возможность либо продолжать расчет цепи более экономными методами (за счет уменьшения размерности системы уравнений), либо продолжать упрощение схемы путем последующих эквивалентных преобразований.

Многие схемы можно полностью рассчитать с помощью МЭП. Для этого следует последовательно осуществлять эквивалентные преобразования до трансформации схемы в простейшую, одноконтурную. Этот процесс называют еще свертыванием схемы или «прямым ходом». Ток в одноконтурной схеме определяют по закону Ома (классическому или обобщенному). После определения токов в простейшей схеме, ее начинают разворачивать, выполняя при этом «обратный ход». На этом этапе используется закон Ома в двух своих формах (I=U/R и U=I*R). При выполнении «обратного хода» находят все необходимые токи и напряжения.

С формальной точки зрения эквивалентные преобразования представляют метод расчета, основанный на декомпозиции схемы. При этом в каждом этапе расчета внимание сосредоточено на ограниченном участке цепи.

С математической точки зрения эквивалентное преобразование соответствует такому преобразованию всей системы уравнений или ее части, в результате которого размерность исходной СЛАУ (и соответственно количество неизвестных в этой системе) уменьшается на единицу или несколько единиц сразу [15] .

В электротехнике выделены определенные типы соединений элементов цепи (или ветвей цепи), эквивалентное преобразование которых ведет к упрощению схемы. Простейшими эквивалентными преобразованиями являются уже рассмотренная замена нескольких последовательно (или параллельно) соединенных сопротивлений одним эквивалентным.

При до компьютерных расчетах основным критерием трудоемкости того или иного метода являлась размерность системы уравнений, которую требовалось решить пользователю. В истории электротехнических расчетов 19 и 20 века МЭП использовались весьма активно именно в связи с тем, что они не связаны с необходимостью решения систем уравнений. Доказано также, что алгоритмы МЭП требуют наименьшего количества умножений и делений [16] , по сравнению с прямыми методами.

С развитием современных компьютерных программ и специализированных пакетов в частности, размерность перестала быть главным фактором трудоемкости расчета, и на первое место вышла алгоритмизируемость модели, ее общность и возможность использовать модель для исследования различных режимов работы цепи. В этом плане весомые достоинства на стороне прямых методов.

Методы эквивалентных преобразований слишком «индивидуальны», и в целом хуже поддаются программной реализации по сравнению с прямыми методами. В связи с этим удельный вес МЭП в общей массе расчетов в последние годы снижается [17] .

Тем не менее, МЭП во многих случаях важны методологически, построение эквивалентных схем, очень полезно и способствуют лучшему пониманию сути электротехнических процессов, особенно на начальном этапе изучения ТОЭ. Поэтому МЭП продолжают оставаться в арсенале электротехники, однако сфера их применения практически ограничена простыми схемами.

К МЭП следует отнести также важный в методологическом плане метод наложения и широко применяемый на практике метод эквивалентного генератора (см. специальные разделы).